Расстилаться пишется слитно, так как это глагол, образованный от основы "стил" с приставкой "ра-". Глагол "стилиться" означает "располагаться, занимать место, размещаться". При добавлении приставки "ра-" к глаголу "стилиться" получается новое значение - "расстилаться".
Глагол "расстилаться" обозначает действие, когда что-то располагается, размещается или распространяется на поверхности. Например, когда мы расстилаем одеяло на кровати, расстилается ковер на полу или расстилается покрывало на столе.
Правила написания глаголов с приставкой "ра-" в русском языке неоднозначны и зависят от ударения в слове. Если ударение падает на приставку "ра-", то она пишется через дефис, например: раз-говориться, раз-бежаться. Однако, если ударение падает на корень, то приставка пишется слитно, например: расстраиваться, распространяться.
В случае с глаголом "расстилаться" ударение падает на корень "стил", поэтому приставка "ра-" пишется слитно.
Также стоит отметить, что глагол "расстилаться" является безличным, то есть не имеет прямого дополнения и управляется только предлогами. Например: "Одеяло расстилается на кровати", "Ковер расстилается на полу".
В заключение, глагол "расстилаться" пишется слитно, так как это глагол с приставкой "ра-" и ударение падает на корень "стил". Этот глагол означает действие, когда что-то располагается, размещается или распространяется на поверхности.