Question

Почему медиана равна половине гипотенузы

Answer 1

Неточный вопрос. Медиана чего? Если речь идет о треугольнике, то медиана не равна половине гипотенузы. Медиана - это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны. Если речь идет о медиане, проведенной к гипотенузе, то она делит гипотенузу на две равные части.

Answer 2

Для начала, нужно определить, что такое медиана и гипотенуза. Медиана – это линия, которая проходит через вершину треугольника и делит противоположную ей сторону на две равные части. Гипотенуза – это самая длинная сторона прямоугольного треугольника, которая находится напротив прямого угла.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник ABC, где AB – гипотенуза, а CD – медиана, проходящая через вершину C и перпендикулярная AB.

Поскольку медиана делит сторону AB на две равные части, то AC = CB. Также известно, что медиана делит треугольник на две равные площади. Поэтому площадь треугольника ACB равна половине площади треугольника ABC.

С другой стороны, площадь прямоугольного треугольника ABC можно выразить через его гипотенузу AB и высоту CH, опущенную на гипотенузу:

S(ABC) = (AB * CH) / 2

Высота CH равна половине гипотенузы AB (CH = 0,5 * AB), поэтому:

S(ABC) = (AB * 0,5 * AB) / 2 = (AB^2) / 4

Таким образом, площадь треугольника ACB равна половине площади треугольника ABC:

S(ACB) = S(ABC) / 2 = (AB^2) / 8

Но площадь треугольника ACB можно также выразить через его медиану CD и высоту CM, опущенную на медиану:

S(ACB) = (CD * CM) / 2

Высота CM равна половине медианы CD (CM = 0,5 * CD), поэтому:

S(ACB) = (CD * 0,5 * CD) / 2 = (CD^2) / 4

Сравнивая два выражения для площади треугольника ACB, получаем:

(CD^2) / 4 = (AB^2) / 8

CD^2 = (AB^2) / 2

CD = AB / √2

Таким образом, медиана CD равна половине гипотенузы AB, умноженной на коэффициент √2.

Ответ на вопрос «Почему медиана равна половине гипотенузы?» заключается в том, что это следует из свойств прямоугольного треугольника и его медианы, а также из геометрических выкладок, которые мы только что рассмотрели.

Answer 3

Для ответа на вопрос о том, почему медиана равна половине гипотенузы, необходимо увязать воедино понятия медианы и гипотенузы в треугольнике.

Медианой треугольника называется отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противолежащей стороны. В простом понимании медиана – это линия, которая делит сторону треугольника на две равные части.

Гипотенуза, в свою очередь, является наибольшей стороной прямоугольного треугольника и лежит напротив прямого угла.

Если взять произвольный треугольник ABC и провести через точку A медиану, то она разделит сторону BC на две равные части (пусть точка пересечения медианы с BC называется M). Таким образом, AM=MC.

Теперь можно рассмотреть прямоугольный треугольник ABC с прямым углом в C. По определению гипотенуза AB является наибольшей стороной треугольника и лежит напротив прямого угла. Пусть точка пересечения медианы AM с гипотенузой AB называется N. Тогда по определению медианы AN=NB.

Заметим, что треугольники ABC и AMN равны по двум сторонам (АМ=МС, АN=NB), а угол AMN и угол ВCA являются вертикальными и, следовательно, равны между собой. Таким образом, эти два треугольника равны по правилу сторона-угол-сторона (СУС).

Отсюда следует, что синус угла BAC равен синусу угла C (синусы равны соответствующим сторонам, деленным на гипотенузу, с которой они соответствуют). То есть:

sin BAC/sin C = AC/BC

Поделим уравнение на 2 (так как синус угла равен половине диаметра соответствующей дуги):

1/2 sin BAC/sin C = 1/2AC/BC

Поскольку AM=MC и AN=NB, то AC=2AN и BC=2MC. Подставляя в выражение, получаем:

1/2 sin BAC/sin C = AN/MC

Учитывая, что AN=NB и MC=BC/2, то можно записать:

1/2 sin BAC/sin C = NB/(BC/2)

Сокращая общий множитель (1/2) и раскрывая скобки, получаем:

sin BAC/sin C = NB/BC

Но NB/BC – это отношение медианы AM к гипотенузе AB, то есть AM/AB. Таким образом, выражение можно переписать в следующем виде:

sin BAC/sin C = AM/AB

Переставляя местами части равенства и учитывая, что sin BAC=BC/AB и sin C=AC/AB, получаем:

AC/BC = AM/AB

AC – это медиана, проведенная к гипотенузе AB, а BC – это гипотенуза. Таким образом, мы получили, чтомедиана равна половине гипотенузы.

Такой вывод можно сделать только для прямоугольных треугольников, но также можно применять закон синусов для нахождения медианы в любом треугольнике. Общее свойство медианы – нахождение середины стороны – позволяет использовать ее для вычисления разных параметров треугольника.

В качестве примера можно привести средний периметр треугольника, который равен половине суммы длин сторон треугольника и вычисляется по формуле P/2 = (a + b + c)/2, где a, b и c – длины сторон треугольника. Средний периметр также можно выразить через медианы треугольника: P/2 = m_a + m_b + m_c, где m_a, m_b и m_c – медианы треугольника.

Таким образом, медианы и гипотенузы в треугольниках имеют важное значение для вычисления их различных параметров. Кроме того, познание свойств медиан и гипотенуз помогает лучше понимать строение и свойства треугольников в целом.