Факториал числа n обозначается как n! и определен как произведение всех положительных целых чисел от 1 до n. Например, 5! = 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 120.
Теперь рассмотрим вопрос о факториале 0. По определению факториала, 0! должно быть равно произведению всех положительных чисел от 1 до 0. Однако, нет положительных чисел от 1 до 0.
Так как нет чисел для умножения, мы могли бы предположить, что 0! должно быть равно 1. Это предположение подкрепляется несколькими аргументами:
1. Пустое произведение: Если у нас нет чисел для умножения, мы можем считать, что результатом будет 1. Это аналогично тому, что пустое произведение считается единичным элементом умножения.
2. Рекуррентное определение: Если рассмотреть определение факториала рекурсивно, то 0! может быть определено как n! = n * (n-1)! При этом 0! = 1! = 1.
3. Комбинаторика: Факториалы широко используются в комбинаторике для подсчета числа перестановок, сочетаний и размещений. И в этой области повсеместно принимается соглашение о том, что 0! равно 1. Например, это позволяет удобно вычислять количество перестановок пустого множества, которое равно 0!, и соответствует одному варианту - пустому множеству.
4. Функция Гамма: Функция Гамма, которая является обобщением факториала на вещественные числа, удовлетворяет соотношению Γ(n) = (n-1)!. Если мы подставим n = 1, то получим Γ(1) = 0!, что означает, что 0! равно 1.
С учетом этих аргументов можно сделать вывод, что значение 0! равно 1. В то же время, следует отметить, что это соглашение, основанное на удобстве и соответствующее различным математическим определениям и применениям.