Ответ на вопрос "Почему отрезки касательных равны?" можно дать, рассмотрев несколько важных фактов и свойств, связанных с темой.
Во-первых, чтобы разобраться в вопросе, необходимо понимать, что такое касательная. Касательная - это прямая, которая касается графика функции в точке и имеет одно общее с ней значение производной. Простыми словами, это прямая, которая "соприкасается" с кривой графика функции и имеет ту же наклонную производную, что и сам график. Поэтому важно понимать, что наличие касательной предполагает наличие производной.
Теперь рассмотрим связь между производной и угловым коэффициентом, или наклоном, прямой. Угловой коэффициент прямой определяет, как быстро меняется значение функции при изменении аргумента. Если угловой коэффициент положителен, то функция возрастает, а если отрицателен, то убывает.
Второй важной свойство, которое поможет понять почему отрезки касательных равны, это то, что производная функции является мгновенной скоростью изменения значения функции в точке. Иными словами, производная в точке говорит, насколько быстро изменится значение функции при малом изменении аргумента вблизи этой точки.
Теперь рассмотрим две произвольные точки на графике функции. Возьмем точки A и B, которые лежат на кривой графика функции и соединим их отрезком. Далее проведем две касательные к этому графику в точках A и B и обозначим их отрезками между точками C и D соответственно.
Так как касательные имеют одинаковый угловой коэффициент, то это означает, что их производные равны. Предположим, что производные этих касательных разные. Это означало бы, что функция меняется на разные величины при равных изменениях аргумента в точках А и В. Но это противоречит тому свойству производной, которое говорит, что она показывает мгновенную скорость изменения функции в данной точке. Значит, производные должны быть равными.
Отсюда следует вывод, что отрезки, соединяющие точки, где касательные касаются графика функции, имеют одинаковую длину. Это объясняется тем, что угол наклона касательной определяется производной функции, и если угловые коэффициенты двух касательных равны, то изменение функции при одинаковом изменении аргумента должно быть одинаковым.
Таким образом, отрезки касательных равны потому, что производные функций в точках касания одинаковы, что означает одинаковую изменчивость функции вокруг этих точек. Это свойство является следствием принципа единства производной. Когда касательная касается графика функции в точке, она имеет тот же наклон, что и сам график. Это говорит о том, что изменение функции при малом изменении аргумента вблизи точки касания будет одинаковым для обеих касательных.
Доказательство этого свойства можно провести математически, используя определение производной. Пусть у нас есть функция y = f(x), и точка A(x1, y1) на графике этой функции. Тогда уравнение касательной к этому графику в точке A можно записать в виде y - y1 = f'(x1)(x - x1), где f'(x1) - это производная функции f(x) в точке x1.
Аналогично, для другой точки B(x2, y2) на графике функции уравнение касательной будет выглядеть как y - y2 = f'(x2)(x - x2).
Теперь рассмотрим отрезок CD, соединяющий точки C и D - точки касания касательных в точках A и B соответственно. Обозначим координаты точек C(x1, y1) и D(x2, y2).
Из уравнений касательных получаем, что уравнение прямой CD имеет вид y - y1 = f'(x1)(x - x1), так как касательные имеют одинаковый угловой коэффициент, равный производной функции в точках A и B.
Таким образом, уравнения прямых AC и BD имеют вид y - y1 = f'(x1)(x - x1) и y - y2 = f'(x2)(x - x2) соответственно.
Теперь подставим координаты точек C и D в эти уравнения и сравним полученные выражения:
Для точки C: y1 - y1 = f'(x1)(x1 - x1) => 0 = 0
Для точки D: y2 - y2 = f'(x2)(x2 - x2) => 0 = 0
Как видно из этих равенств, оба выражения равны нулю, что означает, что уравнения касательных AC и BD совпадают.
Таким образом, отрезки касательных равны, потому что касательные имеют одинаковый угловой коэффициент, определяемый производной функции в точках касания. Это позволяет утверждать, что изменение значения функции при равных изменениях аргумента вблизи точек A и B будет одинаковым, и отрезки CD и AB будут равными.
В заключение, отрезки касательных равны потому, что производные функций в точках касания одинаковы, что означает одинаковую изменчивость функции вокруг этих точек. Это свойство является следствием принципа единства производной и объясняет равенство отрезков касательных.