Существует несколько версий происхождения фразы "один одинешенек" и почему она пишется через дефис. Рассмотрим несколько из них.
Первая версия связана с тем, что фраза "один одинешенек" является искажением слова "одинокий". В детском языке дети зачастую меняют, искажают слова, и "одинокий" мог звучать как "один-одинокий", затем сокращая до "одинешенек". Со временем фраза обрела свойство общения, нередко используется как привычное обращение между детьми.
Вторая версия связана с русским языком и его грамматическими правилами. Существительное "один" склоняется по падежам, а в единственном числе имеет форму "один", а не "одинь". Однако, если к нему прибавить суффикс -шенек, то слово получается новую форму склонения и написание через дефис объясняется тем, что существительное "один" и дополнение "шенек" не образуют одно слово в традиционном понимании.
Третья версия связана с мутантами - нашими знакомыми ниндзя черепашками. В советский период просмотры мультфильмов запрещались, и слово "мутант" тоже стало запретным. Тогда, чтобы обойти запрет, название персонажа Микеланджело Паоло дало расшифровку, где "одинешенек" означало "один из Черепашек-мутантов, обладающий стойкой любовью к спорту" (а точнее, love для каждой черепашки было расшифровано определенным образом). Позже, когда запреты снялись, фраза "один одинешенек" уже устоялась всеконечном пользовании, в том числе и у детей.
Независимо от версий постоянное пользование фразой "один одинешенек" подтверждает, что она прижилась в нашем языке и стала уже насколько привычной, что называя кого-то "одинешенком" или "один одинешенек" не приходится объясняться причиной ее написания через дефис.