Question

Сумма углов треугольника почему 80

Answer 1

Сумма углов треугольника равна 180 градусам. Это базовое утверждение в геометрии, которое знакомо каждому школьнику и даже необходимо для решения задач на ЕГЭ. Однако, не все кому даны эти знания, понимают, как такая сумма углов рассчитывается. В данном тексте достаточно подробно объясним, почему сумма углов треугольника равна 180 градусам.

Давайте рассмотрим простой треугольник - это фигура со тремя вершинами и тремя сторонами.

Начнем с определения того, что является углом. Угол - это область пространства между двумя лучами (отрезками прямых), исходящими из одной точки (вершины угла). Лучи называются сторонами угла, а точка пересечения лучей - вершиной угла (см. рисунок 1).


Есть несколько единиц измерения углов, таких как градусы, радианы и грады. Однако для большей ясности мы будем использовать градусы для измерения углов.

У каждого угла есть своя мера, которая измеряется в градусах. 90 градусов - это угол поворота на четверть оборота, а 180 градусов - половина оборота. Тогда можно легко сделать вывод о том, что угол поворота на полный оборот равен 360 градусам.

Теперь мы знаем, что угол - это область пространства между лучами, и что градус - это единица измерения угла, которая измеряет его меру. Но как нам рассчитать сумму углов в треугольнике?

Допустим, мы имеем треугольник с вершинами A, B, C и сторонами a, b, c (см. рисунок 2).


Для нахождения суммы углов в треугольнике сначала нам нужно понять, какие из углов мы будем считать. Как мы знаем, у каждой вершины треугольника есть угол. Таким образом, в треугольнике есть три угла.

Теперь давайте обведите каждый угол заглушкой (см. рисунок 3).


Как мы видим на рисунке, каждый угол образован двумя сторонами треугольника. Каждый угол в треугольнике можно обозначить значком "∠" и назвать по имени соответствующей вершины. Например, угол в вершине A можно обозначить как ∠A.

Обратите внимание, что эти углы составляют половину оборота (т.е. 180 градусов), так как каждая сторона направлена по отрезку, соединяющему две точки.

Давайте теперь рассмотрим треугольник ABF на рисунке 3. Он имеет два угла - ∠A и ∠B. Вспомним, что сумма углов в любом треугольнике равна 180 градусам, значит ∠A + ∠B = 180°. Аналогично, сумма углов в треугольниках ABC и BCA также будет равна 180 градусам.

Таким образом, сумма трех углов в треугольнике всегда будет равна 180 градусам, что является базовым утверждением в геометрии.

Можно заметить, что каждый угол в треугольнике составляет меньше 180 градусов. Это свойство называется выпуклостью треугольника. Выпуклость треугольника означает, что все вершины треугольника направлены наружу.

Также можно доказать это утверждение и другим способом. Для этого рассмотрим произвольный треугольник ABC и нарисуем окружность, проходящую через все три его вершины (см. рисунок 4).


Каждая сторона треугольника пересекает окружность в двух различных точках. Образуется три дуги между этими точками на окружности. Пусть эти дуги равны α, β и γ (соответственно дугам AC, CB и AB на рисунке).

По теореме о центральном угле угол, соответствующий дуге, равен половине ее меры. Так как окружность содержит в себе полный оборот (360°), сумма дуг α, β и γ будет равна 360°. Таким образом, каждый из углов ∠A, ∠B и ∠C будет равен углу, соответствующему дуге на окружности, умноженному на 2.

∠A = 2γ, ∠B = 2α, ∠C = 2β

Тогда,

∠A + ∠B + ∠C = 2α + 2β + 2γ = 2(α + β + γ) = 2 × 180° = 360°

Следовательно, ∠A + ∠B + ∠C = 180°.

Таким образом, мы показали два способа доказательства того, что сумма углов в треугольнике равна 180 градусам.

Это основное свойство, которое имеет множество применений в геометрии и ее приложениях. Знание этого свойства позволяет решать задачи на построение треугольников, на использование тригонометрических функций, на вычисление площади поверхностей и объемов тел, на решение задач геодезии и других областей, где геометрия применяется.

Answer 2

Сумма углов треугольника всегда равна 180 градусов. Это свойство можно доказать несколькими способами.

Первый способ - геометрический. Рассмотрим произвольный треугольник ABC и проведем через его вершину A прямую, параллельную стороне BC. Тогда угол BAC и угол, образованный этой прямой и стороной BC, будут соответственно внутренним и внешним углами треугольника ABC. По свойству внешних углов сумма внутреннего и внешнего углов равна 180 градусов. Таким образом, сумма углов треугольника ABC равна сумме угла BAC и внешнего угла, то есть 180 градусов.

Второй способ - алгебраический. Рассмотрим треугольник ABC с вершинами A(x1, y1), B(x2, y2) и C(x3, y3). Проведем медиану из вершины A, которая делит сторону BC пополам и пересекает ее в точке D. Так как медиана делит сторону BC пополам, то координаты точки D будут (x2+x3)/2 и (y2+y3)/2. Также известно, что медиана проходит через точку A и делит ее на две равные части. Значит, координаты точки A будут (2x1+x2+x3)/4 и (2y1+y2+y3)/4. Тогда уравнение прямой, проходящей через точки A и D, будет иметь вид y = kx + b, где k = (y3-y2)/(x3-x2) - угловой коэффициент прямой, а b = y1 - kx1 - свободный член уравнения. Найдем точку пересечения этой прямой с осью ординат, подставив x = 0 в уравнение прямой: y = b. Так как точка D лежит на этой прямой, то координаты точки D будут (0, b). Значит, угол BAC равен углу между прямыми BC и AD. Найдем угловой коэффициент прямой AD: k1 = (b-y1)/((0-(2x1+x2+x3)/4)) = (2(y2+y3)-4y1)/(x2+x3-4x1). Найдем угловой коэффициент прямой BC: k2 = (y3-y2)/(x3-x2). Тогда угол между прямыми BC и AD будет равен arctg((k2-k1)/(1+k1*k2)). Подставляя значения k1 и k2, получаем, что угол BAC равен arctg((y3-y2+2y1)/(x3-x2+2x1)). Теперь найдем углы B и C. Угол B равен углу между прямыми AB и CD, а угол C - углу между прямыми AC и BD. Аналогично находим углы B и C. Сумма углов треугольника ABC будет равна сумме углов BAC, B и C, то есть arctg((y3-y2+2y1)/(x3-x2+2x1)) + arctg((y1-y3+2y2)/(x1-x3+2x2)) + arctg((y2-y1+2y3)/(x2-x1+2x3)). При сокращении общих членов и приведении к общему знаменателю получаем, что сумма углов равна arctg((y1-y2)*(x2-x3) + (y2-y3)*(x3-x1) + (y3-y1)*(x1-x2))/((x1-x2)*(x2-x3)+(y1-y2)*(y2-y3)+(x3-x1)*(y3-y2)) = arctg(0) = 0. Таким образом, сумма углов треугольника равна 180 градусов.

Итак, мы доказали, что сумма углов треугольника всегда равна 180 градусов. Почему именно 180 градусов? Это связано с тем, что градус - это единица измерения угла, которая равна 1/360 полного оборота. Таким образом, полный оборот составляет 360 градусов, а сумма углов треугольника - это половина оборота, то есть 180 градусов. Это свойство применимо не только к треугольникам, но и к любым многоугольникам, в которых количество углов больше двух.

Answer 3

Сумма углов треугольника всегда равна 180 градусов.